Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος μεταφοράς εμπορευμάτων
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου μια επιχείρηση πρέπει να μεταφέρει εμπορεύματα από τρεις κεντρικές της αποθήκες (A, B, C) σε τέσσερις περιοχές πελατών (1, 2, 3, 4). Ο στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς.
Δεδομένα του προβλήματος
- Χωρητικότητα αποθηκών (supply):
- Αποθήκη A: 50 μονάδες
- Αποθήκη B: 60 μονάδες
- Αποθήκη C: 50 μονάδες
- Απαιτήσεις πελατών (demand):
- Πελάτης 1: 30 μονάδες
- Πελάτης 2: 40 μονάδες
- Πελάτης 3: 50 μονάδες
- Πελάτης 4: 40 μονάδες
- Κόστος μεταφοράς (ανά μονάδα προϊόντος):
Διαμόρφωση του προβλήματος
Ορίζουμε τις μεταβλητές της απόφασης:
- xij: ποσότητα εμπορευμάτων που μεταφέρεται από την αποθήκη i στον πελάτη j.
Η συνάρτηση κόστους που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι:
Περιορισμοί προβλήματος:
- Περιορισμοί προσφοράς:
- Περιορισμοί ζήτησης:
- Μη αρνητικότητα:
Επίλυση του προβλήματος
Για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Simplex, έναν αλγόριθμο που βρίσκει τη βέλτιστη λύση σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού.
Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Simplex, επιλύουμε το πρόβλημα και βρίσκουμε τις βέλτιστες τιμές για τις μεταβλητές xij που ελαχιστοποιούν το κόστος.
Παράδειγμα λύσης (Με χρήση του excel)
Ένα από τα εργαλεία που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι το Excel Solver. Παραθέτουμε τα βήματα:
- Καταχώρηση δεδομένων:
- Καταχωρούμε τους πίνακες χωρητικότητας, ζήτησης και τιμές κόστους σε ένα φύλλο Excel.
- Ορισμός μεταβλητών υπολογισμού κόστους
- Σε ξεχωριστά κελιά (πίνακας 3), ορίζουμε τις μεταβλητές xij (ποσότητα χ τιμή κόστους)
- Στο κελί της συνάρτησης κόστους (κελί με κίτρινο χρώμα), γράφουμε τη συνάρτηση κόστους ως το άθροισμα των προϊόντων των μεταβλητών και των αντίστοιχων τιμών κόστους.
- Ορισμός περιορισμών:
- Χρησιμοποιούμε τη λειτουργία Solver για να ορίσουμε τους περιορισμούς χωρητικότητας και ζήτησης.
- Εκτέλεση του Solver:
- Ορίζουμε τον στόχο να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση κόστους (πίνακας 3) και εκτελούμε τον Solver για να βρούμε τη βέλτιστη λύση.
Η λύση θα μας δώσει τις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών xij, δηλαδή τις ποσότητες που πρέπει να μεταφερθούν από κάθε αποθήκη σε κάθε πελάτη για να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος που υπολογίστηκε στα 1.330 (πίνακας 3).
Παρατηρούμε ότι, για την ελαχιστοποίηση του κόστους προτείνεται (πίνακας 2) ο πελάτης 2 και 3 να εξυπηρετηθούν από 2 αποθήκες λόγω της ύπαρξης περιορισμών στην χωρητικότητα, αλλά και στην κάλυψη της ζήτησης των πελατών.
Συμπεράσματα
Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι ένα ισχυρό εργαλείο βελτιστοποίησης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια πληθώρα εφαρμογών. Στην περίπτωση της βελτιστοποίησης μεταφοράς εμπορευμάτων, ο γραμμικός προγραμματισμός επιτρέπει στις επιχειρήσεις να μειώσουν το κόστος τους μέσω αποτελεσματικής διαχείρισης των πόρων τους. Με τη χρήση εργαλείων όπως το Excel Solver, η διαδικασία επίλυσης γίνεται πιο προσιτή και εύκολη, επιτρέποντας στις επιχειρήσεις να λαμβάνουν τεκμηριωμένες και αποτελεσματικές αποφάσεις.
Γιώργος Χαραλαμπίδης, ΜΒΑ